Anˆlush Fourier kai Olokl rwma Lebesgue. Prìqeirec Shmei seic

Anˆlush Fourier kai Olokl rwma Lebesgue Prìqeirec Shmei seic Tm ma Majhmatik n Panepist mio Ajhn n Aj na, 22

Perieqìmena I Anˆlush Fourier Εισαγωγή 3. Τριγωνομετρικά πολυώνυμα.......................... 4.2 L 2 -σύγκλιση: μια εισαγωγή............................3 Ασκήσεις.................................... 7 2 Σειρές Fourier 2 2. Μιγαδική μορφή και παραδείγματα....................... 2 2.2 Μοναδικότητα σειρών Fourier......................... 26 2.3 Συνελίξεις και καλοί πυρήνες.......................... 32 2.4 Αθροισιμότητα σειρών Fourier......................... 39 2.4αʹ Cesàro αθροισιμότητα και το θεώρημα του Fejér........... 39 2.4βʹ Abel αθροισιμότητα και ο πυρήνας του Poisson............ 43 2.5 Ασκήσεις.................................... 46 3 Σύγκλιση σειρών Fourier 53 3. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο......................... 53 3.2 L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier.......................... 59 3.3 Σημειακή σύγκλιση και η αρχή της τοπικότητας................ 64 3.4 Μια συνεχής συνάρτηση με σειρά Fourier που αποκλίνει σε ένα σημείο... 67 3.5 Ασκήσεις.................................... 72 II Olokl rwma Lebesgue 77 4 Μέτρο Lebesgue 79 4. Εισαγωγή.................................... 79 4.2 Εξωτερικό μέτρο Lebesgue........................... 8 4.3 Μετρήσιμα σύνολα............................... 85 4.4 Μέτρο Lebesgue................................ 88

iv Περιεχομενα 4.5 Το σύνολο του Cantor............................. 95 4.6 Παράδειγμα μη μετρήσιμου συνόλου...................... 99 4.7 Ασκήσεις.................................... 2 5 Μετρήσιμες συναρτήσεις 9 5. Μετρήσιμες συναρτήσεις............................ 9 5.2 Η συνάρτηση Cantor Lebesgue........................ 6 5.3 Προσέγγιση μετρήσιμων συναρτήσεων από απλές συναρτήσεις........ 8 5.4 Οι τρεις «αρχές του Littlewood»........................ 2 5.5 Ασκήσεις.................................... 24 6 Ολοκλήρωμα Lebesgue 27 6. Ολοκλήρωμα Lebesgue για απλές μετρήσιμες συναρτήσεις.......... 28 6.2 Ολοκλήρωμα Lebesgue για μη αρνητικές συναρτήσεις............ 3 6.3 Ολοκλήρωμα Lebesgue: η γενική περίπτωση................. 38 6.4 Σύγκριση με το ολοκλήρωμα Riemann.................... 43 6.5 Ασκήσεις.................................... 49 7 Χώροι L p 55 7. Χώροι L p.................................... 55 7.2 Πληρότητα του L p............................... 58 7.3 Ασκήσεις.................................... 6 III Metasqhmatismìc Fourier 63 8 Μετασχηματισμός Fourier 65 8. Μετασχηματισμός Fourier στο R........................ 65 8.2 Ο τύπος αντιστροφής.............................. 73 8.3 Ο τύπος του Plancherel............................ 8 8.4 Ο τύπος άθροισης του Poisson......................... 83 8.5 Η αρχή αβεβαιότητας του Heisenberg..................... 85 8.6 Ασκήσεις.................................... 86 IV UpodeÐxeic gia tic Ask seic 93 9 Ανάλυση Fourier 95 9. Εισαγωγή.................................... 95 9.2 Σειρές Fourier.................................. 26 9.3 Σύγκλιση σειρών Fourier............................ 229

Περιεχομενα v Ολοκλήρωμα Lebesgue 249. Μέτρο Lebesgue................................ 249.2 Μετρήσιμες συναρτήσεις............................ 267.3 Ολοκλήρωμα Lebesgue............................. 273

Mèroc I Anˆlush Fourier

Kefˆlaio Eisagwg Εστω f : [, π] R μια Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Η σειρά Fourier της f είναι η σειρά συναρτήσεων S[f](x) = a 2 + (a k cos kx + b k sin kx), όπου οι συντελεστές Fourier a k και b k της f ορίζονται από τις σχέσεις και a k = a k (f) = π b k = b k (f) = π π π f(x) cos kx dx, k =,, 2,... f(x) sin kx dx, k =, 2,.... Οι συναρτήσεις f(x) cos kx και f(x) sin kx είναι Riemann ολοκληρώσιμες, συνεπώς οι συντελεστές a k και b k είναι καλά ορισμένοι. Επιπλέον, για κάθε k έχουμε a k π π f(x) dx και b k π π f(x) dx. Δηλαδή, οι ακολουθίες {a k } και {b k } είναι φραγμένες. Το n-οστό μερικό άθροισμα της σειράς Fourier της f είναι η συνεχής συνάρτηση s n (f)(x) = a n 2 + (a k cos kx + b k sin kx). Το πρόβλημα που θα μας απασχολήσει στο πρώτο μέρος του μαθήματος είναι κατά πόσον «η ακολουθία s n (f) συγκλίνει στην f». Οπως θα φανεί στις επόμενες δύο εισαγωγικές παραγράφους, το ερώτημα έχει καταφατική απάντηση αν περιοριστούμε σε «καλές συναρτήσεις» ή αν θεωρήσουμε «κατάλληλη έννοια σύγκλισης».

4 Εισαγωγη. Trigwnometrikˆ polu numa Ορισμός.. (τριγωνομετρικά πολυώνυμα). Πραγματικό τριγωνομετρικό πολυώνυμο είναι κάθε πεπερασμένος γραμμικός συνδυασμός των συναρτήσεων cos kx και sin kx. Δηλαδή, κάθε συνάρτηση της μορφής (..) T (x) = λ + n (λ k cos kx + µ k sin kx), όπου n N και λ k, µ k R. Ο βαθμός του T είναι ο μικρότερος n για τον οποίο το T έχει μια αναπαράσταση αυτής της μορφής. Συμβολίζουμε με T n την κλάση όλων των τριγωνομετρικών πολυωνύμων που έχουν βαθμό μικρότερο ή ίσο από n. Παρατηρήστε ότι ο T n είναι γραμμικός υπόχωρος του χώρου των συνεχών -περιοδικών συναρτήσεων f : R R. Παρατήρηση..2. Κάθε τριγωνομετρικό πολυώνυμο T (x) βαθμού n είναι πολυώνυμο των cos x και sin x βαθμού n. Δηλαδή, υπάρχει πολυώνυμο (δύο μεταβλητών) p(t, s) βαθμού n ώστε (..2) T (x) = p(cos x, sin x). Η παρατήρηση αυτή είναι άμεση συνέπεια του ακόλουθου λήμματος. Λήμμα..3. Για κάθε n, οι συναρτήσεις cos nx και (sin(n + )x)/ sin x είναι πολυώνυμα του cos x βαθμού n. Απόδειξη. Δείχνουμε με επαγωγή ότι: για κάθε n υπάρχουν a,n,..., a n,n R ώστε n (..3) cos nx = 2 n cos n x + a j,n cos j x. Παρατηρήστε ότι η (..3) ισχύει τετριμμένα για n =, ενώ για n = 2 γνωρίζουμε ότι j= cos 2x = 2 cos 2 x. Υποθέτουμε ότι η (..3) ισχύει για το cos kx, όπου k 2. ταυτότητα Από την τριγωνομετρική (..4) cos[(k + )x] + cos[(k )x] = 2 cos kx cos x παίρνουμε cos(k + )x = 2 cos kx cos x cos(k )x

. Τριγωνομετρικα πολυωνυμα 5 k k 2 = 2 cos x 2 k cos k x + a j,k cos j x 2 k 2 cos k x a j,k cos j x = 2 k cos k+ x + j= k a j,k+ cos j x j= για κατάλληλους a j,k+ R. Για τον δεύτερο ισχυρισμό του λήμματος, χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα (..5) sin[(k + )x] sin[(k )x] = 2 cos kx sin x δείχνουμε επαγωγικά ότι, για κάθε n, j= (..6) sin(n + )x sin x n = 2 n cos n x + a j,n cos j x j= για κατάλληλους a j,n R (η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση). Παρατήρηση..4. Θεωρούμε το σύνολο (..7) B = {, cos x, cos 2 x,..., cos n x, sin x, sin x cos x,..., sin x cos n x}. Από το Λήμμα..3 έχουμε (..8) T n span(b), όπου span(b) είναι ο γραμμικός χώρος που παράγεται από το B. Ειδικότερα, η διάσταση dim(t n ) του T n είναι μικρότερη ή ίση από 2n +, κάτι που είναι φανερό και από το γεγονός ότι (..9) T n = span(a), όπου (..) A = {, cos x, cos 2x,..., cos nx, sin x,..., sin nx}. Παρατηρήστε ότι card(a) = card(b) = 2n + (με card(x) συμβολίζουμε το πλήθος των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου X). Θα δείξουμε ότι το A είναι γραμμικώς ανεξάρτητο σύνολο. Επεται ότι το A είναι μία βάση του T n και ότι dim(t n ) = 2n +. Επιπλέον, αφού span(b) T n και dim(span(b)) 2n +, συμπεραίνουμε ότι, τελικά, T n = span(b) = span(a). Ειδικότερα, κάθε πολυώνυμο του cos x, βαθμού μικρότερου ή ίσου από n, ανήκει στην κλάση T n.

6 Εισαγωγη Ορισμός..5 (εσωτερικό γινόμενο). Εστω f, g : [, π] R δύο Riemann ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Ορίζουμε (..) f, g = π και (..2) f 2 = f, f /2 = π Από την ανισότητα Cauchy Schwarz έχουμε f(x)g(x) dx (..3) f, g f 2 g 2. ( π /2 f 2 (x) dx). π Παρατηρήστε επίσης ότι g, f = f, g και λf + µg, h = λ f, h + µ g, h αν οι f, g, h είναι Riemann ολοκληρώσιμες και λ, µ R. Πρόταση..6 (σχέσεις ορθογωνιότητας). Ισχύουν τα παρακάτω: (i) Αν m, n =,, 2,... και m n τότε π π (ii) Αν m, n =, 2,... και m n τότε π π (iii) Αν m =,, 2,... και n =, 2,... τότε (iv) Αν m, n =, 2,... τότε π π π π cos mx cos nx dx =. sin mx sin nx dx =. cos mx sin nx dx =. cos 2 mx dx = π π sin 2 nx dx =. Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. Χρησιμοποιήστε τις ταυτότητες 2 cos θ cos φ = cos(θ φ) + cos(θ + φ), 2 sin θ cos φ = sin(θ + φ) + sin(θ φ), 2 sin θ sin φ = cos(θ φ) cos(θ + φ), και τις 2 cos 2 θ = + cos 2θ, 2 sin 2 θ = cos 2θ.

. Τριγωνομετρικα πολυωνυμα 7 Πρόταση..7. Το σύνολο A = {, cos x, cos 2x,..., cos nx, sin x,..., sin nx} είναι γραμμικά ανεξάρτητο. Απόδειξη. Δείχνουμε ότι αν (..4) T (x) = λ + τότε n (λ k cos kx + µ k sin kx), (..5) λ = λ = = λ n = µ = = µ n =. Αυτό προκύπτει άμεσα από την Πρόταση..6. Για παράδειγμα, για κάθε m =,..., n έχουμε = T, sin mx = λ, sin mx + n (λ k cos kx, sin mx + µ k sin kx, sin mx ) = µ m sin mx, sin mx = µ m, διότι cos kx, sin mx = για κάθε k n και sin kx, sin mx = για κάθε k n, k m. Ομοια δείχνουμε ότι λ m = για κάθε m =,,..., n. Ορισμός..8. Για κάθε φραγμένη συνάρτηση f : [, π] R ορίζουμε (..6) f = sup{ f(x) : x [, π]}. Θα χρησιμοποιήσουμε το προσεγγιστικό θεώρημα του Weierstrass (μια απόδειξη δίνεται στο Παράρτημα Γ). Θεώρημα..9. Εστω f : [a, b] R συνεχής συνάρτηση. Για κάθε ε > υπάρχει πολυώνυμο p ώστε (..7) f p = max{ f(x) p(x) : x [a, b]} < ε. Ισοδύναμα, υπάρχει ακολουθία {p m } πολυωνύμων ώστε f p m. Χρησιμοπιώντας το Θεώρημα..9 θα δείξουμε ότι η κλάση T όλων των τριγωνομετρικών πολυωνύμων είναι «πυκνή» στον χώρο των συνεχών -περιοδικών συναρτήσεων: Θεώρημα... Εστω f : R R συνεχής -περιοδική συνάρτηση. Για κάθε ε > υπάρχει τριγωνομετρικό πολυώνυμο T ώστε (..8) f T = max{ f(x) T (x) : x R} < ε. Ισοδύναμα, υπάρχει ακολουθία {T m } τριγωνομετρικών πολυωνύμων ώστε f T m.

8 Εισαγωγη Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα τον ισχυρισμό του θεωρήματος, κάνοντας την επιπλέον υπόθεση ότι η f είναι άρτια: δηλαδή, f( x) = f(x) για κάθε x R. Ορίζουμε g : [, ] R με (..9) g(y) = f(arccos y). Η g είναι καλά ορισμένη, διότι arccos y [, π] για κάθε y [, ], και συνεχής, ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. Από το Θεώρημα..9, υπάρχει πολυώνυμο p ώστε g p < ε. Δηλαδή, (..2) f(arccos y) p(y) < ε για κάθε y [, ]. Ορίζουμε T (x) = p(cos x). Το T είναι πολυώνυμο του cos x, άρα T T. Παρατηρούμε ότι, για κάθε x [, π] υπάρχει y [, ] ώστε y = cos x, και τότε, (..2) f(x) T (x) = f(x) p(cos x) = f(arccos y) p(y) < ε. Αφού οι f και T είναι άρτιες συναρτήσεις, έπεται ότι (..22) f T = max{ f(x) T (x) : x π} < ε, το οποίο είναι το ζητούμενο. Για την γενική περίπτωση, θεωρούμε τυχούσα συνεχή -περιοδική συνάρτηση f : R R και ορίζουμε (..23) f (x) = f(x) + f( x) και f 2 (x) = [f(x) f( x)] sin x. Παρατηρήστε ότι οι f και f 2 είναι άρτιες, συνεχείς και -περιοδικές. Άρα, μπορούμε να βρούμε τριγωνομετρικά πολυώνυμα T και T 2 ώστε (..24) f T < ε 2 και f 2 T 2 < ε 2. Αν θέσουμε (..25) T 3 (x) = 2 (T (x) sin 2 x + T 2 (x) sin x), τότε T 3 T και, για κάθε x [, π], 2f(x) sin 2 x 2T 3 (x) = f (x) sin 2 x + f 2 (x) sin x T (x) sin 2 x T 2 (x) sin x (f (x) T (x)) sin 2 x + (f 2 (x) T 2 (x)) sin x f (x) T (x) + f 2 (x) T 2 (x) < ε 2 + ε 2 = ε. Με άλλα λόγια, αν ορίσουμε f 3 (x) = f(x) sin 2 x τότε (..26) f 3 T 3 < ε 2.

. Τριγωνομετρικα πολυωνυμα 9 Θεωρούμε τώρα την συνάρτηση g(x) := f ( x π 2 ). Η g είναι συνεχής και -περιοδική. Συνεπώς, ο ίδιος συλλογισμός δείχνει ότι υπάρχει τριγωνομετρικό πολυώνυμο T 4 ώστε, για τη συνάρτηση f 4 (x) = g(x) sin 2 x να ισχύει f 4 T 4 < ε 2. Αν ορίσουμε T 5(x) = T 4 (x + π/2), τότε το T 5 είναι τριγωνομετρικό πολυώνυμο (εξηγήστε γιατί) και για κάθε x R, αν θέσουμε y = x + π/2 έχουμε (..27) f(x) cos 2 x T 5 (x) = f(x) cos 2 x T 4 (x + π/2) = f(y π/2) sin 2 y T 4 (y) < ε 2. Συνεπώς, (..28) f 5 T 5 < ε 2, όπου f 5 (x) = f(x) cos 2 x. Παρατηρήστε ότι f = f 3 + f 5, διότι f(x) = f(x) sin 2 x + f(x) cos 2 x. Ορίζουμε T = T 3 + T 5. Τότε, T T και (..29) f T = (f 3 + f 5 ) (T 3 + T 5 ) f 3 T 3 + f 5 T 5 < ε 2 + ε 2 = ε. Αυτό αποδεικνύει το Θεώρημα. Πόρισμα... Εστω f : R R συνεχής -περιοδική συνάρτηση με την ιδιότητα (..3) a k (f) = b k (f) = για κάθε k. Τότε, f. Απόδειξη. Από την υπόθεση και από την γραμμικότητα του ολοκληρώματος είναι φανερό ότι (..3) π f(x)t (x) dx = για κάθε τριγωνομετρικό πολυώνυμο T. Από το Θεώρημα.. υπάρχει ακολουθία {T m } τριγωνομετρικών πολυωνύμων ώστε f T m. Τότε, για κάθε m έχουμε (..32) Άρα, (..33) Επεται ότι (..34) π f 2 (x) dx = π π f 2 (x) dx f 2 (x) dx π π f(x)t m (x) dx = π f(x)(f(x) T m (x)) dx. f f T m dx = f f T m. π f 2 (x) dx =,

Εισαγωγη και, αφού η f είναι συνεχής, συμπεραίνουμε ότι f. Κλείνουμε αυτήν την παράγραφο υπολογίζοντας τη σειρά Fourier ενός τριγωνομετρικού πολυωνύμου n T (x) = λ + (λ k cos kx + µ k sin kx). Χρησιμοποιώντας την Πρόταση..6 ελέγχουμε εύκολα ότι: για κάθε k =,..., n είναι (..35) a k (T ) = T, cos kx = λ k cos kx, cos kx = λ k, ενώ, αν k > n έχουμε (..36) a k (T ) = T, cos kx =. Ομοια, για κάθε k =,..., n είναι (..37) b k (T ) = T, sin kx = µ k sin kx, sin kx = µ k, ενώ, αν k > n έχουμε (..38) b k (T ) = T, sin kx =. Τέλος, (..39) a (T ) = 2λ. Επεται ότι, για κάθε m n, s m (T )(x) = a (T ) m + (a k (T ) cos kx + b k (T ) sin kx) 2 n = λ + (λ k cos kx + µ k sin kx) = T (x). Δηλαδή, η σειρά Fourier του T ταυτίζεται με το T : Πρόταση..2. Εστω T τριγωνομετρικό πολυώνυμο βαθμού μικρότερου ή ίσου από n. Για κάθε m n έχουμε (..4) s m (T ) T. Συνεπώς, (..4) S[T ] T.

.2 L 2 -συγκλιση: μια εισαγωγη Η Πρόταση..2 δείχνει ότι το πρόβλημα της σύγκλισης της σειράς Fourier S[f] στην f έχει καταφατική απάντηση στην περίπτωση που η f είναι τριγωνομετρικό πολυώνυμο: αν το n ξεπεράσει τον βαθμό του τριγωνομετρικού πολυωνύμου f τότε ήδη έχουμε s n (f) f. Από την άλλη πλευρά, το Θεώρημα.. δείχνει ότι τα τριγωνομετρικά πολυώνυμα είναι -πυκνά στις συνεχείς συναρτήσεις. Αυτό ενισχύει την ελπίδα ότι το πρόβλημα της σύγκλισης της S[f] στην f μπορεί να έχει καταφατική απάντηση για μια κλάση συναρτήσεων ευρύτερη από αυτήν των τριγωνομετρικών πολυωνύμων..2 L 2 -sôgklish: mia eisagwg Εστω f : [, π] R μια Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Θα εξετάσουμε αν s n (f) f ως προς την 2. Δηλαδή, αν lim f s n(f) 2 π 2 = lim (f(x) s n (f)(x)) 2 dx =. n n π Η απάντηση είναι καταφατική και βασίζεται στο επόμενο λήμμα, το οποίο αποδεικνύει ότι το n-οστό μερικό άθροισμα s n (f) της σειράς Fourier της f είναι το πλησιέστερο προς την f τριγωνομετρικό πολυώνυμο της κλάσης T n αν θεωρήσουμε την 2 -απόσταση. Θεώρημα.2.. Εστω f : [, π] R, Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση. κάθε n, Για (.2.) f s n (f) 2 = min{ f T 2 : T T n }. Απόδειξη. Θεωρούμε τυχόν T T n. Τότε, (.2.2) T (x) = λ n 2 + (λ k cos kx + µ k sin kx) για κάποιους λ k, µ k R. Γράφουμε (.2.3) f T 2 2 = f T, f T = f 2 2 2 f, T + T 2 2. Υπολογίζουμε τα f, T και T 2 2. Εχουμε f, T = π = λ π π = λ a (f) 2 f(x)t (x) dx n ( π π ) f(x) dx + λ k f(x) cos kx dx + µ k f(x) sin kx dx π π n n + λ k a k (f) + µ k b k (f).

2 Εισαγωγη Αν στη θέση της f βάλουμε το T, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι a k (T ) = λ k b k (T ) = µ k παίρνουμε και n (.2.4) T 2 2 = T, T = λ2 2 + λ 2 k + n µ 2 k. Αν θεωρήσουμε σαν T το s n (f), χρησιμοποιώντας την f, T = λa(f) 2 + n λ ka k (f) + n µ kb k (f) αλλά και την (.2.4), έχουμε (.2.5) f, s n (f) = s n (f) 2 2 = a2 n 2 + a 2 k + Συνδυάζοντας τα παραπάνω, γράφουμε n b 2 k. f T 2 2 = f 2 2 + λ2 2λ a (f) n n + (λ 2 k 2λ k a k (f)) + (µ 2 k 2µ k b k (f)) 2 = f 2 2 + (λ a ) 2 n n + (λ k a k ) 2 + (µ k b k ) 2 2 ( ) a 2 n 2 + (a 2 k + b 2 k) ( ) f 2 a 2 n 2 2 + (a 2 k + b 2 k) = f 2 2 s n (f) 2 2. Ισότητα ισχύει αν και μόνο αν λ k = a k για κάθε k =,,..., n και µ k = b k για κάθε k =,..., n. Δηλαδή, αν T s n (f). Δηλαδή, δείξαμε ότι (.2.6) f s n (f) 2 2 = f 2 2 s n (f) 2 2 f T 2 2 για κάθε T T n. Σημείωση. Στην πορεία της απόδειξης του προηγούμενου θεωρήματος είδαμε ότι s n (f) 2 2 = a2 n 2 + (a 2 k + b 2 k), δηλαδή η ακολουθία ( s n (f) 2 ) είναι αύξουσα. Επίσης, f 2 2 s n (f) 2 2 = f s n (f) 2 2. Αυτή είναι η πολύ βασική ανισότητα του Bessel:

.2 L 2 -συγκλιση: μια εισαγωγη 3 Θεώρημα.2.2 (ανισότητα Bessel). Εστω f : [, π] R ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Για κάθε n ισχύει η ανισότητα (.2.7) s n (f) 2 2 = a2 n 2 + (a 2 k + b 2 k) f 2 2, όπου a k = a k (f) και b k = b k (f) είναι οι συντελεστές Fourier της f. Συνεπώς, (.2.8) a 2 2 + (a 2 k + b 2 k) f 2 2. Πόρισμα της ανισότητας του Bessel είναι το γεγονός ότι οι ακολουθίες {a k (f)} και {b k (f)} είναι μηδενικές. Θεώρημα.2.3 (Λήμμα Riemann Lebesgue). Εστω f : [, π] R ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Τότε, (.2.9) lim k a k(f) = lim k b k(f) =. Απόδειξη. Από την ανισότητα του Bessel βλέπουμε ότι οι σειρές a 2 k και b 2 k συγκλίνουν. Είναι τώρα άμεσο ότι οι ακολουθίες {a k } και {b k } συγκλίνουν στο. Οπως θα δούμε στη συνέχεια, η ανισότητα (.2.8) είναι στην πραγματικότητα ισότητα (ταυτότητα του Parseval). Αποδεικνύουμε αυτόν τον ισχυρισμό ξεκινώντας από την κλάση των συνεχών συναρτήσεων. Πρόταση.2.4. Εστω f : R R συνεχής, -περιοδική συνάρτηση. Τότε, (.2.) f 2 2 = a2 2 + (a 2 k + b 2 k). Απόδειξη. Ξεκινώντας από την f s n (f) 2 2 = f 2 2 s n (f) 2 2, αν δείξουμε ότι (.2.) lim n f s n(f) 2 =, θα συμπεράνουμε ότι (.2.2) f 2 2 = lim s n(f) 2 2 = a2 n 2 + (a 2 k + b 2 k).

4 Εισαγωγη Θα βασιστούμε στο Θεώρημα... Θεωρούμε τυχόν ε > και βρίσκουμε τριγωνομετρικό πολυώνυμο T ώστε (.2.3) f T < ε 2. Τότε, f T 2 = ( π /2 ( π ) /2 f(x) T (x) dx) 2 f T 2 π π dx = 2 f T < ε. Εστω n ο βαθμός του T. Από το Θεώρημα.2. έπεται ότι (.2.4) f s n (f) 2 f T 2 < ε. Παρατηρώντας τώρα ότι, για κάθε n n ισχύει (.2.5) s n (f) 2 2 = a2 n 2 + (a 2 k + b 2 k) a2 n 2 + (a 2 k + b 2 k) = s n (f) 2 2, γράφουμε (.2.6) f s n (f) 2 2 = f 2 2 s n (f) 2 2 f 2 2 s n (f) 2 2 = f s n (f) 2 2, δηλαδή, για κάθε n n έχουμε (.2.7) f s n (f) 2 f s n (f) 2 < ε. Αυτό αποδεικνύει ότι f s n (f) 2. Για να περάσουμε στην κλάση των Riemann ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, χρησιμοποιούμε το εξής προσεγγιστικό Λήμμα. Λήμμα.2.5. Εστω f : [, π] R μια Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση και έστω ε >. Τότε, υπάρχει συνεχής συνάρτηση g : [, π] R με g f και g() = g(π) ώστε f g 2 < ε. Απόδειξη. Εστω δ >. Μπορούμε να βρούμε διαμέριση P = { = x < x < < x N = π} του [, π] ώστε U(f, P ) L(f, P ) < δ. Συμβολίζουμε με f την κλιμακωτή συνάρτηση που ορίζεται ως εξής: (.2.8) f (x) = sup x j y x j f(y), x [x j, x j ), j N. Από τον τρόπο ορισμού της f έχουμε f f. Επιπλέον, (.2.9) π f (x) f(x) dx = π (f (x) f(x)) dx < δ.

.2 L 2 -συγκλιση: μια εισαγωγη 5 Πράγματι, (.2.2) π π (f (x) f(x)) dx = U(f, P ) f(x) dx U(f, P ) L(f, P ) < δ. Τροποποιούμε τώρα την f ώστε να πάρουμε μια συνεχή συνάρτηση g με g() = g(π) η οποία να προσεγγίζει κι αυτή την f με την έννοια του λήμματος. Για αρκετά μικρό η >, θέτουμε g(x) = f (x) αν η απόσταση του x από καθένα από τα σημεία x,..., x N είναι η. Στην η-περιοχή του x j για j =,..., N, ορίζουμε την g να είναι η γραμμική συνάρτηση που ικανοποιεί τις g(x j ± η) = f (x j ± η). Κοντά στο x =, παίρνουμε την g γραμμική με g() = και g( + η) = f ( + η). Ομοια, κοντά στο x N = π, παίρνουμε την g γραμμική με g(π) = και g(π η) = f (π η). Αφού g() = g(π), μπορούμε να επεκτείνουμε την g σε μια συνεχή περιοδική συνάρτηση σε ολόκληρο το R. Η απόλυτη τιμή αυτής της επέκτασης παραμένει φραγμένη από f. Επιπλέον, η g διαφέρει από την f μόνο στα N + διαστήματα μήκους 2η ή η γύρω από τα x,..., x N. Συνεπώς, (.2.2) π Αν επιλέξουμε το η αρκετά μικρό, παίρνουμε (.2.22) Η τριγωνική ανισότητα μας δίνει (.2.23) Παρατηρώντας ότι (.2.24) π f (x) g(x) dx 2BN 2η. π π βλέπουμε ότι μπορούμε να πετύχουμε f (x) g(x) dx < δ. f(x) g(x) dx < 2δ. π f(x) g(x) 2 dx 2 f f(x) g(x) dx, (.2.25) f g 2 < ε αν επιλέξουμε το δ > αρκετά μικρό ώστε (2δ)(2 f ) < ε 2 εξηγήστε τους τελευταίους ισχυρισμούς. Θεώρημα.2.6 (ταυτότητα του Parseval). Εστω f : R R μια -περιοδική συνάρτηση, ολοκληρώσιμη στο [, π]. Τότε, (.2.26) f 2 2 := π π f(x) 2 dx = a2 2 + (a 2 k + b 2 k).

6 Εισαγωγη Απόδειξη. Εστω ε >. Από το Λήμμα.2.5 υπάρχει συνεχής -περιοδική συνάρτηση g ώστε f g 2 < ε/3. Τότε, (.2.27) f s n (f) 2 f g 2 + g s n (g) 2 + s n (g) s n (f) 2. Παρατηρήστε ότι (.2.28) s n (g) s n (f) 2 = s n (g f) 2 g f 2 < ε 3. Συνεπώς, (.2.29) f s n (f) 2 < 2ε 3 + g s n(g) 2. Από την Πρόταση.2.4 έχουμε g s n (g) 2, άρα υπάρχει n N ώστε, για κάθε n n, g s n (g) 2 < ε/3. Τότε, για κάθε n n έχουμε f s n (f) 2 < ε. Αυτό δείχνει ότι f s n (f) 2, δηλαδή s n (f) 2 2 f 2 2 και έπεται το Θεώρημα. Η ταυτότητα του Parseval μας δίνει μια δεύτερη απόδειξη του Πορίσματος..: Πόρισμα.2.7. Εστω f : R R συνεχής -περιοδική συνάρτηση με την ιδιότητα a k (f) = b k (f) = για κάθε k. Τότε, f. Απόδειξη. Από την υπόθεση και από την ταυτότητα του Parseval έπεται ότι (.2.3) π f(x) 2 dx =. Αφού η f είναι συνεχής, συμπεραίνουμε ότι f. Μια πολύ χρήσιμη εφαρμογή αυτού του αποτελέσματος είναι το ακόλουθο κριτήριο για την ομοιόμορφη σύγκλιση της S[f] στην f. Θεώρημα.2.8. Εστω f : [, π] R συνεχής συνάρτηση με f() = f(π) =. Υποθέτουμε ότι (.2.3) ( a k (f) + b k (f) ) < +. Τότε, η σειρά Fourier της f συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Δηλαδή, (.2.32) s n (f) ομ f. Απόδειξη. Από την υπόθεση ότι ( a k(f) + b k (f) ) < + και από το κριτήριο του Weierstrass βλέπουμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων s n (f)(x) = a (f) + n (a k (f) cos kx + b k (f) sin kx)

.3 Ασκησεις 7 συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνεχή συνάρτηση g : [, π] R και (.2.33) g(x) = a (f) + (a k (f) cos kx + b k (f) sin kx), x [, π]. Παρατηρήστε ότι: για κάθε k και για κάθε n k έχουμε (.2.34) π π και, για κάθε k και για κάθε n k έχουμε (.2.35) π π s n (f)(x) cos kxdx = a k (f), s n (f)(x) sin kxdx = b k (f). Από την ομοιόμορφη σύγκλιση της s n (f) στην g έπεται ότι, για κάθε k, (.2.36) a k (g) = π π και, όμοια, για κάθε k, g(x) cos kx dx = lim n π (.2.37) b k (g) = b k (f). π s n (f)(x) cos kx dx = a k (f). Αφού οι συνεχείς συναρτήσεις f και g έχουν τους ίδιους συντελεστές Fourier, το Πόρισμα.2.7 δείχνει ότι g f. Συνεπώς, s n (f) ομ f..3 Ask seic Ομάδα Α. Εστω T (x) = λ + n (λ k cos kx + µ k sin kx) τριγωνομετρικό πολυώνυμο. Δείξτε ότι: (α) Αν το T είναι περιττή συνάρτηση, τότε λ k = για κάθε k =,,..., n. (β) Αν το T είναι άρτια συνάρτηση, τότε µ k = για κάθε k =,..., n. 2. Δείξτε ότι: για κάθε k N υπάρχει πολυώνυμο p(t) βαθμού 2k ώστε sin 2k x = p(cos x) για κάθε x R. 3. Αποδείξτε πλήρως την Πρόταση..6: οι συναρτήσεις, cos x,..., cos nx, sin x,..., sin nx είναι ορθογώνιες. 4. Ορίζουμε f(x) = π x αν < x <, f() = f() =, και επεκτείνουμε την f σε μια -περιοδική συνάρτηση στο R. Δείξτε ότι η σειρά Fourier της f είναι η S[f](x) = 2 sin kx. k

8 Εισαγωγη Ομάδα Β 5. Εστω f : [, π] R μια Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση και έστω ε >. Δείξτε ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση g : [, π] R ώστε g(x) f για κάθε x [, π] και π f(x) g(x) dx < ε. 6. Εστω f : [, π] R μια Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση και έστω ε >. (α) Δείξτε ότι υπάρχει συνεχής συνάρτηση g : [, π] R ώστε f g 2 < ε. (β) Δείξτε ότι υπάρχει συνεχής -περιοδική συνάρτηση h : R R ώστε f h 2 < ε. (γ) Δείξτε ότι υπάρχει τριγωνομετρικό πολυώνυμο T ώστε f T 2 < ε. 7. Εστω f : R R μια -περιοδική συνάρτηση, ολοκληρώσιμη στο [, π]. Δείξτε ότι π lim f(x + t) f(x) 2 dx =. t 8. Θεωρούμε την συνάρτηση f(x) = (π x) 2 στο [, ] και την επεκτείνουμε σε μια -περιοδική συνάρτηση ορισμένη στο R. Δείξτε ότι S[f](x) = π2 3 + 4 Χρησιμοποιώντας το παραπάνω, δείξτε ότι k 2 = π2 6. cos kx k 2. 9. Εστω f : R R συνεχώς παραγωγίσιμη -περιοδική συνάρτηση με π f(x) dx =. Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα του Parseval για τις f και f δείξτε ότι π f(x) 2 dx π f (x) 2 dx, με ισότητα αν και μόνο αν f(x) = a cos x + b sin x για κάποιους a, b R.

.3 Ασκησεις 9 Ομάδα Γ. (α) Για κάθε k N θέτουμε k A k (x) = sin jx. j= Δείξτε ότι: αν k > m τότε για κάθε < x < π. A k (x) A m (x) sin(x/2) (β) Αν λ λ 2 λ n, δείξτε ότι k λ j sin jx λ m+ sin(x/2) j=m+ για κάθε n k > m και για κάθε < x < π.. Εστω n N και M >. Αν λ λ 2 λ n και kλ k M για κάθε k =,..., n, δείξτε ότι n λ k sin kx (π + )M για κάθε x R. [Υπόδειξη: Μπορείτε να υποθέσετε ότι < x < π. Γράψτε, αν θέλετε, n m λ k sin kx = λ k sin kx + όπου m = min{n, π/x }.] n k=m+ λ k sin kx, 2. Εστω < α και έστω f : R R μια -περιοδική συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι υπάρχει M > ώστε f(x) f(y) M x y α για κάθε x, y R. Δείξτε ότι: υπάρχει σταθερά C > ώστε, για κάθε k Z \ {}, a k (f) C k α και b k (f) C k α.

Kefˆlaio 2 Seirèc Fourier 2. Migadik morf kai paradeðgmata Ορισμός 2.. (μιγαδικές συναρτήσεις στον μοναδιαίο κύκλο). Συμβολίζουμε με T τον μοναδιαίο κύκλο (2..) T = {z C : z = } = {e iθ : θ R}. Αν F : T C είναι μια συνάρτηση με μιγαδικές τιμές, ορίζουμε f : R C με (2..2) f(θ) = F (e iθ ). Παρατηρήστε ότι η f είναι -περιοδική. Αντίστροφα, αν f : R C είναι μια -περιοδική συνάρτηση, τότε η F : T C με F (e iθ ) = f(θ) είναι καλά ορισμένη (πράγματι, αν e iθ = e iθ2 για κάποιους θ, θ 2 R τότε θ 2 = θ + 2kπ για κάποιον ακέραιο k, άρα f(θ ) = f(θ 2 ) από την -περιοδικότητα της f). Εχουμε λοιπόν μια αντιστοιχία ανάμεσα στις συναρτήσεις F : T C και τις -περιοδικές συναρτήσεις f : R C. Με βάση αυτήν την αντιστοιχία, λέμε ότι η F είναι ολοκληρώσιμη αν η f είναι ολοκληρώσιμη σε κάποιο (άρα σε κάθε) διάστημα μήκους, η F είναι συνεχής αν η f είναι συνεχής, η F είναι παραγωγίσιμη αν η f είναι παραγωγίσιμη, η F είναι συνεχώς παραγωγίσιμη αν η f είναι συνεχώς παραγωγίσιμη και ούτω καθεξής. Υπενθυμίζουμε ότι αν f : [a, b] C είναι οποιαδήποτε συνάρτηση, τότε η f γράφεται στην μορφή f = u + iv, όπου u(x) = Re(f(x)) και v(x) = Im(f(x)), x [a, b]. Λέμε ότι η f είναι Riemann ολοκληρώσιμη αν οι u, v είναι Riemann ολοκληρώσιμες, και ορίζουμε (2..3) b f(x) dx = b u(x) dx + i b a a a v(x) dx.

22 Σειρες Fourier Θα χρησιμοποιούμε συχνά το εξής: αν η f : [a, b] C είναι ολοκληρώσιμη, τότε b b (2..4) f(x) dx f(x) dx. a a Για την απόδειξη αυτού του ισχυρισμού, γράφουμε b f(x) dx = Re iθ, όπου R = a b a f(x) dx και θ R, και παρατηρούμε ότι b f(x) dx a b = e iθ f(x) dx = = = b a b a a b a Re(e iθ f(x)) dx f(x) dx. e iθ f(x) dx b a e iθ f(x) dx Ορισμός 2..2 (σειρά Fourier). Εστω f : [, π] C ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Για κάθε k Z ορίζουμε τον k-οστό συντελεστή Fourier της f μέσω της (2..5) f(k) = Από την (2..4) έχουμε (2..6) f(k) = π π f(x)e ikx dx f(x)e ikx dx. π f(x) dx f, χρησιμοποιώντας και το γεγονός ότι e ikx =. Συνεπώς, η ακολουθία { f(k)} k Z είναι φραγμένη. Η σειρά Fourier της f είναι η σειρά συναρτήσεων (2..7) S[f](x) = k= f(k)e ikx. Το n-οστό μερικό άθροισμα της σειράς Fourier της f είναι το μιγαδικό τριγωνομετρικό πολυώνυμο (2..8) s n (f)(x) = n k= n f(k)e ikx.

2. Μιγαδικη μορφη και παραδειγματα 23 Γενικά, με τον όρο μιγαδικό τριγωνομετρικό πολυώνυμο εννοούμε κάθε συνάρτηση της μορφής (2..9) T (x) = n k= n c k e ikx, όπου n και c k C, k n. Αν F : T C είναι μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση, θεωρούμε την f(θ) = F (e iθ ) και ορίζουμε τους συντελεστές Fourier της f μέσω του περιορισμού της f στο [, π], χρησιμοποιώντας την (2..5). Παρατήρηση 2..3 (σύνδεση με τα προηγούμενα). Εστω f : [, π] C ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Γενικεύοντας τους ορισμούς της Παραγράφου., για κάθε k ορίζουμε (2..) a k (f) = π και για κάθε k ορίζουμε (2..) b k (f) = π Παρατηρήστε ότι: αν k Z \ {}, π π f(x) cos kx dx f(x) sin kx dx. π (2..2) f(k) = f(x) cos kx dx i π και (2..3) f( k) = Επίσης, π f(x) cos kx dx + i π π (2..4) f() = Παίρνουμε έτσι την εξής Πρόταση. f(x) dx = a (f). 2 f(x) sin kx dx = a k(f) ib k (f), 2 f(x) sin kx dx = a k(f) + ib k (f). 2 Πρόταση 2..4. Εστω f : [, π] C ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Για κάθε k Z\{} ισχύουν οι (2..5) a k (f) = f(k) + f( k) και b k (f) = i( f(k) f( k)).

24 Σειρες Fourier Επίσης, a (f) = 2 f() και (2..6) s n (f)(x) = n k= n f(k)e ikx = a (f) 2 + n (a k (f) cos kx + b k (f) sin kx). Δηλαδή, ο νέος ορισμός μας για το n-οστό μερικό άθροισμα της σειράς Fourier της f συμφωνεί με αυτόν της Παραγράφου.. Απόδειξη. Οι ισότητες a (f) = 2 f(), a k (f) = f(k) + f( k) και b k (f) = i( f(k) f( k)) προκύπτουν άμεσα από τις (2..2), (2..3) και (2..4). Για την (2..6) γράφουμε s n (f)(x) = n k= n = a (f) 2 = a (f) 2 = a (f) 2 = a (f) 2 = a (f) 2 f(k)e ikx + + + + + n f(k)e ikx + k= n f(k)e ikx n n f(k)e ikx + f( k)e ikx n n f(k)(cos kx + i sin kx) + f( k)(cos kx i sin kx) n ( f(k) + f( k)) cos kx + n i( f(k) f( k)) sin kx n (a k (f) cos kx + b k (f) sin kx), χρησιμοποιώντας την (2..5). Το βασικό λοιπόν πρόβλημα που θα μας απασχολήσει είναι το εξής: αν F : T C είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση, ή ισοδύναμα, αν f : R C είναι μια -περιοδική συνάρτηση, ολοκληρώσιμη σε κάθε διάστημα μήκους, θα εξετάσουμε αν η ακολουθία s n (f)(x) = n k= n f(k)e ikx «συγκλίνει» στην f. Παραδείγματα (α) Θεωρούμε την συνάρτηση f(θ) = θ στο [, π) και την επεκτείνουμε σε -περιοδική συνάρτηση στο R. Η f είναι προφανώς ολοκληρώσιμη στο [, π]. Θα υπολογίσουμε τους συντελεστές Fourier της f. Αφού η f είναι περιττή, έχουμε π (2..7) f() = θ dθ =.

2. Μιγαδικη μορφη και παραδειγματα 25 Για κάθε k γράφουμε f(k) = = π θe ikθ dθ = θe ikθ ik π + = e ikπ πe ikπ ik = ( )k+. ik π θ π e ikθ = 2k [ e ikθ ik ik dθ ] dθ e ikπ + e ikπ Χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι π e ikθ ik dθ =. Επεται ότι (2..8) S[f](θ) = ( ) k+ e ikθ ( ) k+ e ikθ ( ) k+ e ikθ k+ sin kθ = = 2 ( ). ik ik k k Θα μπορούσε κανείς, εναλλακτικά, να παρατηρήσει πρώτα ότι a k (f) = για κάθε k Z, διότι η f είναι περιττή. Αυτό σημαίνει ότι (2..9) S[f](θ) = k b k (f) sin kθ. i Χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση κατά μέρη, ακριβώς όπως παραπάνω, μπορείτε να υπολογίσετε τους συντελεστές b k (f) και να καταλήξετε πάλι στην (2..8). (β) Ο πυρήνας του Dirichlet. Εστω n. Ο n-οστός πυρήνας Dirichlet είναι το τριγωνομετρικό πολυώνυμο n (2..2) D n (x) = e ikx, x [, π]. k= n Παρατηρήστε ότι D n () = 2n +. Θα δείξουμε ότι: αν < x π, ) ) x (2..2) D n (x) = sin (( n + 2 sin(x/2) Για τον σκοπό αυτό, θέτουμε ω = e ix και γράφουμε (2..22) D n (x) = Παρατηρήστε ότι (2..23) n ω k + k= n k= k= n ω k =. n ω k + k= ω k = ωn+ ω, n (/ω) k.

26 Σειρες Fourier και (2..24) n ( ) k = ω n ω ω = ω n ω. ω Συνεπώς, (2..25) D n (x) = ω n ω n+ ω ( )x ( ) = e inx e i(n+)x e ix = eix/2 e i n+ 2 e i n+ 2 x, e ix/2 e ix/2 e ix/2 απ όπου προκύπτει η (2..2). Ο πυρήνας του Dirichlet εμφανίζεται πολύ φυσιολογικά στη μελέτη του βασικού μας προβλήματος. Αρκεί να παρατηρήσετε ότι τα μερικά αθροίσματα της σειράς Fourier μιας συνάρτησης f αναπαρίστανται ως εξής: s n (f)(x) = n k= n π = f(k)e ikx = f(y) ( n n k= n k= n ( π ) f(y)e iky dy e ikx e ik(x y) ) dy = π f(y)d n (x y) dy. Στην Παράγραφο 2.3 και σε επόμενες Παραγράφους θα συζητήσουμε αυτό το θέμα διεξοδικά. 2.2 Monadikìthta seir n Fourier Στις παραγράφους. και.2 είδαμε ότι αν μια συνεχής -περιοδική συνάρτηση f : R R έχει όλους τους συντελεστές a k (f) και b k (f) ίσους με μηδέν, τότε f. Σε αυτήν την παράγραφο δείχνουμε το ακόλουθο ισχυρότερο θεώρημα μοναδικότητας. Θεώρημα 2.2.. Εστω f : T C ολοκληρώσιμη συνάρτηση ώστε f(k) = για κάθε k Z. Αν η f είναι συνεχής στο σημείο θ T τότε f(θ ) =. Απόδειξη. Υποθέτουμε πρώτα ότι η f παίρνει πραγματικές τιμές. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι η f ορίζεται στο [, π] και ότι θ =. [Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση: αν η f είναι συνεχής στο θ, τότε η g(x) = f(x+θ ) είναι συνεχής στο υπολογίστε τους συντελεστές Fourier της g.] Θα υποθέσουμε ότι f() > και θα καταλήξουμε σε άτοπο (τελείως ανάλογα αποκλείουμε την περίπτωση f() < ). Η ιδέα είναι να ορίσουμε κατάλληλη ακολουθία {p m } τριγωνομετρικών πολυωνύμων τα οποία παρουσιάζουν «κορυφή» στο σημείο και από αυτήν τους την ιδιότητα να συμπεράνουμε ότι π lim k p m (θ)f(θ) dθ = +.

2.2 Μοναδικοτητα σειρων Fourier 27 Αυτό είναι προφανώς άτοπο, αφού η υπόθεση ότι f(k) = για κάθε k Z δείχνει ότι όλα τα παραπάνω ολοκληρώματα είναι ίσα με (εξηγήστε γιατί). Αρχικά, αφού η f είναι ολοκληρώσιμη, είναι φραγμένη συνάρτηση: υπάρχει M > ώστε f(θ) M για κάθε θ [, π]. Εφαρμόζοντας τον ορισμό της συνέχειας για την f στο σημείο, βρίσκουμε < δ < π/2 ώστε f(θ) > f()/2 για κάθε θ ( δ, δ). Παρατηρούμε ότι cos θ cos δ < αν δ θ π. Συνεπώς, υπάρχει ε > ώστε (2.2.) ε + cos θ < ε/2 2( cos δ) για κάθε δ θ π. Αρκεί να επιλέξουμε < ε < 3. Τότε, αν ε + cos θ έχουμε ε + cos θ = ε + cos θ ε + cos δ < ε/2 από την επιλογή του ε, ενώ αν ε + cos θ < έχουμε ε + cos θ = cos θ ε ε < ε/2. Ορίζουμε (2.2.2) p(θ) = ε + cos θ, θ [, π]. Τότε, p() = + ε, συνεπώς υπάρχει < η < δ ώστε (2.2.3) p(θ) + ε/2, θ ( η, η). Τώρα, για κάθε m =, 2,..., ορίζουμε (2.2.4) p m (θ) = [p(θ)] m = (ε + cos θ) m. Παρατηρήστε ότι κάθε p m είναι τριγωνομετρικό πολυώνυμο (εξηγήστε γιατί). Αφού f(k) = για κάθε k Z, συμπεραίνουμε ότι (2.2.5) π p m (θ)f(θ) dθ =, k =, 2,.... Γράφουμε (2.2.6) π p m (θ)f(θ) dθ = και παρατηρούμε ότι: δ θ π p m (θ)f(θ) dθ + p m (θ)f(θ) dθ + p m (θ)f(θ) dθ, η θ <δ θ <η (i) Για το πρώτο ολοκλήρωμα έχουμε (2.2.7) p m (θ)f(θ) dθ M( ε/2)m όταν m. δ θ π

28 Σειρες Fourier (ii) Για το δεύτερο ολοκλήρωμα έχουμε (2.2.8) η θ <δ p m (θ)f(θ) dθ διότι p(θ) και f(θ) στο {θ : η θ < δ}. Για την πρώτη ανισότητα παρατηρήστε ότι p(θ) = ε + cos θ ε + cos δ > διότι < δ < π/2. (iii) Για το τρίτο ολοκλήρωμα ισχύει το κάτω φράγμα (2.2.9) p m (θ)f(θ) dθ 2η f() 2 ( + ε/2)m. Αφού θ <η (2.2.) lim m ( + ε/2)m = +, συνδυάζοντας τα παραπάνω βλέπουμε ότι (2.2.) lim m π p m (θ)f(θ) dθ = +. Ετσι, οδηγούμαστε σε άτοπο στην περίπτωση που η f παίρνει πραγματικές τιμές. Στην γενική περίπτωση που η f παίρνει τιμές στο C, γράφουμε f(θ) = u(θ) + iv(θ), όπου οι u και v είναι ολοκληρώσιμες πραγματικές συναρτήσεις. Αν θέσουμε g(θ) = f(θ), έχουμε (2.2.2) u(θ) = Παρατηρούμε ότι f(θ) + g(θ) 2 και v(θ) = f(θ) g(θ). 2i (2.2.3) ĝ(k) = f(k) =, k Z. Επεται ότι (2.2.4) û(k) = f(k) + ĝ(k) 2 = και v(k) = f(k) ĝ(k) 2i για κάθε k Z. Εστω ότι η f είναι συνεχής στο θ. Από την συνέχεια των u και v στο θ, από το γεγονός ότι οι συντελεστές Fourier των u και v μηδενίζονται και από το αποτέλεσμα στην πραγματική περίπτωση, συμπεραίνουμε ότι u(θ ) = v(θ ) =. Άρα, f(θ ) = u(θ ) + iv(θ ) =. Άμεση συνέπεια του Θεωρήματος 2.2. είναι η εξής Πρόταση (που έχουμε ήδη συζητήσει στην πραγματική περίπτωση): =

2.2 Μοναδικοτητα σειρων Fourier 29 Θεώρημα 2.2.2 (μοναδικότητα σειρών Fourier). Αν η f : T C είναι συνεχής και f(k) = για κάθε k Z, τότε f. Ενα πόρισμα του θεωρήματος μοναδικότητας είναι η καταφατική απάντηση στο ερώτημα της σημειακής (και μάλιστα ομοιόμορφης) σύγκλισης της s n (f) στην f αν η σειρά των συντελεστών Fourier της f συγκλίνει απολύτως. Θεώρημα 2.2.3. Εστω f : T C συνεχής συνάρτηση. Υποθέτουμε ότι (2.2.5) k= f(k) < +. Τότε, η σειρά Fourier της f συγκλίνει ομοιόμορφα στην f. Δηλαδή, (2.2.6) s n (f) ομ f. Απόδειξη. Από την υπόθεση ότι f(k) < + βλέπουμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων k= (2.2.7) s n (f)(x) = n k= n f(k)e ikx είναι ομοιόμορφα βασική: πράγματι, για κάθε m > n έχουμε (2.2.8) s m (f) s n (f) = max x T s m(f)(x) s n (f)(x) n< k m f(k) όταν m, n. Συνεπώς, η {s n (f)} συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνεχή συνάρτηση g : T C. Δηλαδή, η (2.2.9) g(x) = f(k)e ikx, k= x T ορίζεται καλά και είναι συνεχής. Παρατηρήστε ότι, για κάθε k Z και για κάθε n k, έχουμε (2.2.2) π s n (f)(x)e ikx dx = n j= n π f(j)e i(j k)x dx = f(k), διότι π ei(j k)x dx = αν j k. Από την ομοιόμορφη σύγκλιση της s n (f) στην g έπεται ότι (2.2.2) ĝ(k) = π g(x)e ikx dx = lim n π s n (f)(x)e ikx dx = f(k).

3 Σειρες Fourier Αφού οι συνεχείς συναρτήσεις f και g έχουν τους ίδιους συντελεστές Fourier, από το Θεώρημα 2.2.2 συμπεραίνουμε ότι g f. Συνεπώς, s n (f) ομ f. Ενα φυσιολογικό ερώτημα που προκύπτει από το Θεώρημα 2.2.3 είναι να δοθούν ικανές συνθήκες ώστε η σειρά f(k) να συγκλίνει: αυτό εξασφαλίζει, όπως είδαμε, την k= ομοιόμορφη σύγκλιση της S[f] στην f. Είναι σχετικά εύκολο να δει κανείς ότι αν η f είναι αρκετά λεία (π.χ. δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη) τότε οι συντελεστές Fourier «φθίνουν αρκετά γρήγορα»: Πρόταση 2.2.4. Εστω f : T C συνάρτηση με συνεχή δεύτερη παράγωγο γράφουμε f C 2 (T). Τότε, υπάρχει σταθερά C = C(f) > ώστε (2.2.22) f(k) C(f) k 2, k Z \ {}. Επεται ότι s n (f) ομ f. Απόδειξη. Θεωρούμε k και ολοκληρώνουμε κατά μέρη: γράφουμε f(k) = = π f(θ)e ikθ dθ ] π [f(θ) e ikθ = π ik = ik ik f (θ)e ikθ dθ [f (θ) e ikθ ik + π f (θ)e ikθ dθ ik ] π = π k 2 f (θ)e ikθ dθ, + π (ik) 2 f (θ)e ikθ dθ όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι, αφού οι f και f είναι -περιοδικές, ] π ] π (2.2.23) [f(θ) e ikθ = [f (θ) e ikθ =. ik ik Συνεπώς, (2.2.24) f(k) k 2 όπου (2.2.25) C(f) = π π f (θ) dθ C(f) k 2, f (θ) dθ.

2.2 Μοναδικοτητα σειρων Fourier 3 Ο τελευταίος ισχυρισμός της Πρότασης έπεται από το Θεώρημα 2.2.3 και από το γεγονός ότι k < +. 2 Παρατήρηση 2.2.5. Στην πορεία της απόδειξης της Πρότασης 2.2.4 είδαμε ότι ισχύουν τα εξής: (α) Αν η f : T C είναι συνεχώς παραγωγίσιμη, τότε (2.2.26) f(k) = ik π f (θ)e ikθ dθ = ik f (k) για κάθε k. Από την περιοδικότητα της f είναι φανερό ότι (2.2.27) f () = Συνεπώς, π f (θ) = f(π) f() =. (2.2.28) f (k) = ik f(k), k Z. (α) Αν η f : T C είναι δύο φορές συνεχώς παραγωγίσιμη, τότε (2.2.29) f(k) = k 2 π f (θ)e ikθ dθ = k 2 f (k) για κάθε k. Από την περιοδικότητα της f είναι φανερό ότι (2.2.3) f () = Συνεπώς, π f (θ) = f (π) f () =. (2.2.3) f (k) = k 2 f(k), k Z. Παρατήρηση 2.2.6. Εστω f : R C μια -περιοδική συνάρτηση, ολοκληρώσιμη στο [, π]. Είδαμε ότι αν f C 2 (T) τότε f(k) < +. Οπως θα δούμε αργότερα, η σύγκλιση της σειράς k= k= f(k) εξασφαλίζεται και με ασθενέστερες υποθέσεις για την f. Αρκεί να υποθέσουμε ότι η f είναι συνεχώς παραγωγίσιμη. Ακόμα ασθενέστερη ικανή συνθήκη για την σύγκλιση της f(k) είναι η f να ικανοποιεί συνθήκη Hölder k= τάξης α > /2: δηλαδή, να υπάρχει M > ώστε (2.2.32) f(x) f(y) M x y α για κάθε x, y R.

32 Σειρες Fourier 2.3 SunelÐxeic kai kaloð pur nec Αν f και g είναι -περιοδικές ολοκληρώσιμες συναρτήσεις στο R, η συνέλιξη f g των f και g ορίζεται στο [, π] μέσω της (2.3.) (f g)(x) = π f(y)g(x y) dy. Η τιμή της συνάρτησης είναι καλά ορισμένη για κάθε x [, π], αφού το γινόμενο ολοκληρώσιμων συναρτήσεων είναι ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Η συνέλιξη μπορεί να ιδωθεί σαν «μέσος με βάρη». Για παράδειγμα, αν g τότε η f g είναι σταθερή, με τιμή (2.3.2) (f )(x) = π f(y) dy. Δηλαδή, ισούται με τη μέση τιμή της f στο [, π]. Από μια άλλη οπτική γωνία, η συνέλιξη (f g)(x) συχνά αντικαθιστά, υπό μία έννοια, το κατά σημείο γινόμενο f(x)g(x) των f και g. Οι συνελίξεις μπαίνουν στη μελέτη μας μέσω της παρατήρησης ότι τα μερικά αθροίσματα της σειράς Fourier μιας συνάρτησης f αναπαρίστανται ως εξής: s n (f)(x) = n k= n π = n ( π ) f(k)e ikx = f(y)e iky dy e ikx k= n ( n ) f(y) e ik(x y) dy = (f D n )(x), k= n όπου D n είναι ο n-οστός πυρήνας του Dirichlet, που ορίζεται από την σχέση (2.3.3) D n (x) = n k= n e ikx. Παρατηρούμε λοιπόν ότι για την κατανόηση των μερικών αθροισμάτων s n (f) αρκεί να μελετήσουμε την συνέλιξη f D n. Στην επόμενη πρόταση παραθέτουμε τις βασικές ιδιότητες των συνελίξεων. Πρόταση 2.3.. Εστω f, g και h : R C ολοκληρώσιμες -περιοδικές συναρτήσεις. Τότε: (i) f (g + h) = (f g) + (f h). (ii) (cf) g = c(f g) = f (cg) για κάθε c C. (iii) f g = g f.

2.3 Συνελιξεις και καλοι πυρηνες 33 (iv) (f g) h = f (g h). (v) Η f g είναι συνεχής. (vi) f g(k) = f(k)ĝ(k) για κάθε k Z. Οι πρώτες τέσσερις προτάσεις περιγράφουν τις αλγεβρικές ιδιότητες των συνελίξεων: γραμμικότητα, μεταθετικότητα και προσεταιριστικότητα. Η πέμπτη πρόταση δείχνει ότι η συνέλιξη f g δύο συναρτήσεων είναι «πιο ομαλή» από τις f και g. Η f g είναι συνεχής ενώ οι f και g είναι απλώς ολοκληρώσιμες κατά Riemann. Τέλος, η έκτη πρόταση παίζει πολύ βασικό ρόλο στη μελέτη των σειρών Fourier. Γενικά, οι συντελεστές Fourier του γινομένου f g δύο συναρτήσεων δεν είναι γινόμενα των αντίστοιχων συντελεστών Fourier των f και g. Αν όμως αντικαταστήσουμε το γινόμενο των f και g με την συνέλιξή τους f g, τότε έχουμε αυτήν την σχέση. Απόδειξη. Οι ιδιότητες (i) και (ii) προκύπτουν άμεσα από την γραμμικότητα του ολοκληρώματος. Οι υπόλοιπες ιδιότητες αιτιολογούνται εύκολα αν κάνουμε την πρόσθετη υπόθεση ότι οι f και g είναι συνεχείς. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορούμε να αλλάξουμε την σειρά της ολοκλήρωσης. Για την απόδειξη της (iii), σταθεροποιούμε x R και, χρησιμοποιώντας την αλλαγή μεταβλητής u = x y, γράφουμε (f g)(x) = π f(y)g(x y) dy = x+π x f(x u)g(u) du. Αφού οι f, g είναι -περιοδικές, η συνάρτηση F (u) = f(x u)g(u) είναι επίσης περιοδική. Συνεπώς, (2.3.4) Τότε, x+π x (2.3.5) (f g)(x) = f(x u)g(u) du = π π f(x u)g(u) du. g(u)f(x u) du = (g f)(x). Η (iv) αποδεικνύεται κι αυτή με αλλαγή της σειράς ολοκλήρωσης και κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής. Γράφουμε [(f g) h](x) = = 4π 2 = = 4π 2 4π 2 π (f g)(y)h(x y) dy π π π π π f(t)g(y t)h(x y) dt dy f(t)g(y t)h(x y) dy dt π f(t) g(y t)h((x t) (y t)) dy dt.

34 Σειρες Fourier Η συνάρτηση G(u) = g(u)h(x t u) είναι -περιοδική. Με την αλλαγή μεταβλητής u = y t έχουμε π g(y t)h((x t) (y t)) dy = = π t Επιστρέφοντας στην προηγούμενη σχέση παίρνουμε [(f g) h](x) = Για την απόδειξη της (vi) γράφουμε f g(k) = = = = π π π π = f(k)ĝ(k). π t π g(u)h(x t u) du g(u)h(x t u) du = (g h)(x t). f(t)(g h)(x t) dt = [f (g h)](x). (f g)(x)e ikx dx ( π ) f(y)g(x y) dy e ikx dx f(y)e iky ( f(y)e iky ( π π ) g(x y)e ik(x y) dx dy ) g(x)e ikx dx dy Τέλος, δείχνουμε ότι αν οι f και g είναι συνεχείς, τότε η f g είναι συνεχής. Αρχικά, γράφουμε (2.3.6) (f g)(x ) (f g)(x 2 ) = π f(y)[g(x y) g(x 2 y)] dy. Αφού η g είναι συνεχής, είναι ομοιόμορφα συνεχής σε κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα. Ομως, η g είναι ταυτόχρονα περιοδική, συνεπώς είναι ομοιόμορφα συνεχής σε ολόκληρο το R. Αν μας δώσουν κάποιο ε >, μπορούμε να βρούμε δ > ώστε: αν s t < δ τότε g(s) g(t) < ε. Αν υποθέσουμε ότι x x 2 < δ, τότε έχουμε (x y) (x 2 y) < δ για κάθε y, συνεπώς (f g)(x ) (f g)(x 2 ) ε π π π f(y)[g(x y) g(x 2 y)] dy f(y) g(x y) g(x 2 y) dy f(y) dy ε f.

2.3 Συνελιξεις και καλοι πυρηνες 35 Αυτό αποδεικνύει ότι η f g είναι (ομοιόμορφα) συνεχής. Ετσι ολοκληρώνεται η απόδειξη της Πρότασης, με την πρόσθετη υπόθεση ότι οι f και g είναι συνεχείς. Στην γενική περίπτωση, όπου οι f και g υποτίθενται απλώς ολοκληρώσιμες, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα αποτελέσματα που έχουμε αποδείξει ως τώρα (για συνεχείς f και g), σε συνδυασμό με το επόμενο λήμμα προσέγγισης. Λήμμα 2.3.2. Εστω f : T C ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Υπάρχει ακολουθία {f m } m= συνεχών συναρτήσεων στον T ώστε (2.3.7) f m f, για κάθε m =, 2,..., και (2.3.8) π f(x) f m (x) dx, όταν m. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι η f παίρνει πραγματικές τιμές (στην γενική περίπτωση, εφαρμόζουμε το ίδιο επιχείρημα χωριστά για το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της f). Χρησιμοποιώντας το Λήμμα.2.5, για κάθε m N βρίσκουμε συνεχή f m : T C ώστε f m f και (2.3.9) π f(x) f m (x) dx < m. Τότε, η ακολουθία {f m } έχει τις ζητούμενες ιδιότητες. Χρησιμοποιώντας το Λήμμα, ολοκληρώνουμε την απόδειξη της πρότασης ως εξής. Ε- φαρμόζουμε το Λήμμα και παίρνουμε ακολουθίες {f m } και {g m } συνεχών συναρτήσεων με f m f και g m g, οι οποίες προσεγγίζουν τις f και g αντίστοιχα. Τότε, (2.3.) f g f m g m = (f f m ) g + f m (g g m ). Από τις ιδιότητες της ακολουθίας {f m }, (f f m ) g(x) π f(x y) f m (x y) g(y) dy π g f(y) f m (y) dy όταν m. Επεται ότι (f f m ) g ομοιόμορφα ως προς x. Ομοια, (f m (g g m ))(x) π f m (y) g(x y) g m (x y) dy

36 Σειρες Fourier f m π π g(y) g m (y) dy f g(y) g m (y) dy όταν m, δηλαδή f m (g g m ) ομοιόμορφα, συνεπώς f m g m f g ομοιόμορφα. Αφού οι f m g m είναι συνεχείς, συμπεραίνουμε ότι η f g είναι επίσης συνεχής. Αυτό αποδεικνύει την (v). Στη συνέχεια αποδεικνύουμε την (vi). Αν σταθεροποιήσουμε κάποιον k, έχουμε f(k) f m (k) = π (f(x) f m (x))e ikx dx π f(x) f m (x) dx, απ όπου προκύπτει ότι f m (k) f(k) όταν m. Ομοια δείχνουμε ότι ĝ m (k) ĝ(k). Αφού η {f m g m } συγκλίνει ομοιόμορφα στην f g, έχουμε (2.3.) π (f m g m )(x) (f g)(x) dx (f m g m ) (f g). Τότε, όπως παραπάνω, συμπεραίνουμε ότι (2.3.2) f m g m (k) f g(k) όταν m. Είδαμε όμως προηγουμένως ότι f m (k)ĝ m (k) = f m g m (k), διότι οι f m και g m είναι συνεχείς. Η (vi) προκύπτει αν αφήσουμε το m να πάει στο άπειρο. Οι ιδιότητες (iii) και (iv) αποδεικνύονται με παρόμοια επιχειρήματα. Ορισμός 2.3.3 (καλοί πυρήνες). Μια ακολουθία {K n } n= συναρτήσεων K n : T C λέγεται ακολουθία καλών πυρήνων (ή προσέγγιση της μονάδας) αν ικανοποιεί τα εξής: (i) Για κάθε n N, (2.3.3) π K n (x) dx =. (ii) Υπάρχει σταθερά M > ώστε, για κάθε n N, (2.3.4) π K n (x) dx M.

2.3 Συνελιξεις και καλοι πυρηνες 37 (iii) Για κάθε δ >, (2.3.5) lim n δ x π K n (x) dx =. Πολύ συχνά, δουλεύουμε με μη αρνητικούς πυρήνες: έχουμε K n (x) για κάθε n και για κάθε x. Σε αυτήν την περίπτωση, η ιδιότητα (β) προκύπτει άμεσα από την (α) και δεν χρειάζεται να συμπεριληφθεί στον ορισμό. Η ιδιότητα (α) μας λέει ότι η K n ορίζει μια «κατανομή μοναδιαίας μάζας» στον μοναδιαίο κύκλο και η ιδιότητα (γ) μας λέει ότι, καθώς το n μεγαλώνει, αυτή η μάζα «συγκεντρώνεται κοντά στο μηδέν». Η σχέση των συνελίξεων και των ακολουθιών καλών πυρήνων με το πρόβλημα της σύγκλισης των σειρών Fourier γίνεται φανερή από το επόμενο βασικό θεώρημα. Θεώρημα 2.3.4. Εστω {K n } n= μια ακολουθία καλών πυρήνων και έστω f : T C ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Τότε, για κάθε x T στο οποίο η f είναι συνεχής, έχουμε (2.3.6) lim n (f K n)(x) = f(x). Ειδικότερα, αν η f είναι συνεχής παντού στον T, τότε (2.3.7) f K n ομ f. Απόδειξη. Ισοδύναμα, δουλεύουμε με μια -περιοδική συνάρτηση f : R C. Υποθέτουμε ότι η f είναι συνεχής στο x και θεωρούμε τυχόν ε >. Από τη συνέχεια της f στο x, υπάρχει δ > ώστε: αν y < δ τότε f(x y) f(x) < επ M. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα (α) της {K n }, γράφουμε (f K n )(x) f(x) = = = π π π Συνεπώς, (f K n )(x) f(x) = + K n (y)f(x y) dy f(x) K n (y)f(x y) dy f(x) π K n (y) dy K n (y)[f(x y) f(x)] dy. π y <δ K n (y)[f(x y) f(x)] dy K n (y) f(x y) f(x) dy δ y π K n (y) f(x y) f(x) dy.

38 Σειρες Fourier Για το πρώτο ολοκλήρωμα παρατηρούμε ότι: αν y < δ τότε f(x y) f(x) < επ M. Χρησιμοποιώντας και την ιδιότητα (β) της {K n }, παίρνουμε ε K n (y) f(x y) f(x) dy K n (y) dy 2M y <δ ε 2M y <δ π K n (y) dy ε 2. Για το δεύτερο ολοκλήρωμα χρησιμοποιούμε την ιδιότητα (γ) της {K n } για το συγκεκριμένο δ: έχουμε K n (y) f(x y) f(x) dy K n (y) ( f(x y) + f(x) dy δ y π δ y π 2 f K n (y) dy δ y π καθώς το n. Συνεπώς, υπάρχει n N ώστε, για κάθε n n, (2.3.8) K n (y) f(x y) f(x) dy < ε 2. δ y π Συνδυάζοντας τα παραπάνω, βλέπουμε ότι (2.3.9) (f K n )(x) f(x) < ε για κάθε n n. Άρα, (f K n )(x) f(x) καθώς το n. Για τον τελευταίο ισχυρισμό, παρατηρήστε ότι αν η f είναι παντού συνεχής στον T τότε είναι ομοιόμορφα συνεχής. Αυτό σημαίνει ότι το δ > που επιλέξαμε στην αρχή της απόδειξης μπορεί να επιλεγεί ανεξάρτητα από το x (εξαρτάται μόνο από το ε). Συνεπώς, το επιχείρημα που ακολούθησε δείχνει ότι η σύγκλιση της f K n στην f είναι ομοιόμορφη. Παρατήρηση 2.3.5. Το Θεώρημα 2.3.4 και η ταυτότητα s n (f)(x) = (f D n )(x), όπου D n είναι ο πυρήνας του Dirichlet, θέτουν φυσιολογικά το ερώτημα αν η ακολουθία {D n } είναι ακολουθία καλών πυρήνων. Από την D n (x) = n k= n eikx και την π eikx dx = αν k, είναι φανερό ότι (2.3.2) π D n (x) dx = για κάθε n N, δηλαδή ικανοποιείται η ιδιότητα (α). Ομως, υπάρχει σταθερά c > ώστε, για κάθε n N, (2.3.2) π D n (x) dx c log n,

2.4 Αθροισιμοτητα σειρων Fourier 39 δηλαδή δεν ικανοποιείται η ιδιότητα (β). Η απόδειξη της (2.3.2) αφήνεται για τις Ασκήσεις αυτού του Κεφαλαίου: μπορεί μάλιστα κανείς να δώσει πολύ ακριβείς ασυμπτωτικές εκτιμήσεις για το ολοκλήρωμα της D n. Το μεγάλο «μειονέκτημα» του πυρήνα του Dirichlet είναι ότι δεν διατηρεί πρόσημο: παίρνει τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές. Αν η {D n } ήταν ακολουθία καλών πυρήνων, τότε από το Θεώρημα 2.3.4 θα είχαμε (2.3.22) s n (f) = f D n ομ f για κάθε συνεχή -περιοδική συνάρτηση f : R C. Οπως θα δούμε στο επόμενο Κεφάλαιο, το πρόβλημα της κατά σημείο σύγκλισης της {s n (f)} στην f είναι πολύπλοκο, ακόμα και στην περίπτωση των συνεχών συναρτήσεων (η απάντηση είναι αρνητική). Στην επόμενη Παράγραφο εξετάζουμε ασθενέστερες έννοιες σύγκλισης της {s n (f)} στην f, για τις οποίες έχουμε θετικά αποτελέσματα. 2.4 Ajroisimìthta seir n Fourier 2.4αʹ Cesàro αθροισιμότητα και το θεώρημα του Fejér Θεωρούμε μια σειρά μιγαδικών αριθμών (2.4.) c k = c + c + c 2 + + c n +. k= Το n-οστό μερικό άθροισμα της σειράς είναι το (2.4.2) s n = n c k = c + c + + c n. k= Λέμε ότι η σειρά συγκλίνει στον s C αν lim s n = s. Αν θεωρήσουμε το παράδειγμα της σειράς (2.4.3) ( ) k = + +, k= παρατηρούμε ότι η ακολουθία {s n } των μερικών της αθροισμάτων παίρνει διαδοχικά τις τιμές,,,,... και δεν συγκλίνει. Δεδομένου ότι τα μερικά αθροίσματα παίρνουν «εξίσου» τις τιμές και, έχει κάποιο νόημα να πούμε ότι, κατά μέσο όρο, είναι ίσα με /2, δηλαδή ο /2 είναι «κατά κάποιον τρόπο» το «άθροισμα» της σειράς. Η ιδέα αυτή μπορεί να περιγραφεί αυστηρά αν ορίσουμε την ακολουθία {σ n } των μέσων όρων των πρώτων n μερικών αθροισμάτων μιας σειράς. Αν μας δοθεί η σειρά (2.4.), θέτουμε (2.4.4) σ n = s + s + + s n n

4 Σειρες Fourier για κάθε n =, 2,.... Η ποσότητα σ n είναι ο n-οστός Cesàro μέσος της ακολουθίας {s k } (θα την λέμε και n-οστό άθροισμα Cesàro της σειράς k= c k). Αν υπάρχει το lim σ n = σ C, τότε λέμε ότι η σειρά n k= c k είναι Cesàro α- θροίσιμη στον σ. Οταν μιλάμε για σειρές συναρτήσεων, εξετάζουμε την κατά σημείο και την ομοιόμορφη Cesàro αθροισιμότητά τους σε κάποια συνάρτηση. Στο παράδειγμα της σειράς (2.4.3) είναι πολύ εύκολο να ελέγξουμε ότι σ n /2. Δηλαδή, η συγκεκριμένη σειρά αποκλίνει αλλά είναι Cesàro αθροίσιμη στον /2. Μια άλλη χρήσιμη παρατήρηση είναι ότι αν μια σειρά k= c k συγκλίνει και s = k= c k = s, τότε σ n s, δηλαδή η σειρά είναι Cesàro αθροίσιμη στον s (δείτε το Παράρτημα Β). Ορισμός 2.4. (πυρήνας του Fejér). Ο n-οστός πυρήνας του Fejér είναι το τριγωνομετρικό πολυώνυμο (2.4.5) F n (x) = D (x) + D (x) + + D n (x), n. n όπου D n είναι ο πυρήνας του Dirichlet. Παρατηρήστε ότι ο πυρήνας του Fejér ισούται με F n (x) = n D s (x) = n n s= n = n = k= (n ) n k= (n ) n s s= k= s k s n ( k ) e ikx. n e ikx e ikx = n k= (n ) n k e ikx n Παρατήρηση 2.4.2. Από την γραμμικότητα της συνέλιξης βλέπουμε ότι, αν f είναι μια -περιοδική ολοκληρώσιμη συνάρτηση, τότε για την (2.4.6) σ n (f)(x) := s (f)(x) + s (f)(x) + + s n (f)(x) n έχουμε Δηλαδή, σ n (f)(x) = (f D )(x) + (f D )(x) + + (f D n )(x) ( n = f D ) + D + + D n (x) n = (f F n )(x). (2.4.7) σ n (f) f F n.

2.4 Αθροισιμοτητα σειρων Fourier 4 Παρατηρήστε ότι κάθε σ n (f) είναι τριγωνομετρικό πολυώνυμο βαθμού μικρότερου ή ίσου από n, διότι είναι μέσος όρος των s k (f), k n, τα οποία έχουν την ίδια ιδιότητα. Η βασική παρατήρηση αυτής της παραγράφου είναι ότι η {F n } είναι ακολουθία καλών πυρήνων. Πρόταση 2.4.3. Για κάθε n, ο n-οστός πυρήνας του Fejér δίνεται από τις (2.4.8) F n (x) = sin 2 (nx/2) n sin 2 (x/2), και x 2kπ (2.4.9) F n (x) = n, x = 2kπ. Η ακολουθία {F n } n= είναι ακολουθία καλών πυρήνων. Απόδειξη. Εστω x 2kπ. Εχουμε δείξει ότι, για κάθε s =,,..., n, (2.4.) D s (x) = sin ( ) s + 2 x. sin(x/2) Ομως, n s= sin ( s + 2) x sin(x/2) = = = n 2 sin 2 2 sin(x/2) sin ( s + x (x/2) 2) s= n 2 sin 2 [cos sx cos(s + )x] (x/2) s= 2 sin 2 ( cos nx) (x/2) = sin2 (nx/2) sin 2 (x/2) Διαιρώντας με n παίρνουμε την (2.4.) F n (x) = n n D s (x) = sin 2 (nx/2) n sin 2 (x/2). Αν x = 2kπ, έχουμε D s (x) = 2s +, s =,,..., n. Συνεπώς, (2.4.2) F n (2kπ) = s= + 3 + + (2n ) n = n2 n = n.

42 Σειρες Fourier Παρατηρήστε ότι (2.4.3) F n (x), x R. Αφού η {F n } είναι ακολουθία μη-αρνητικών πυρήνων, για να ελέγξουμε ότι είναι ακολουθία καλών πυρήνων αρκεί να δείξουμε ότι ικανοποιούνται οι ιδιότητες (α) και (γ). Η πρώτη ισχύει προφανώς: αφού π (2.4.4) D s (x) dx = για κάθε s, έχουμε (2.4.5) π F n (x) dx = n π D s (x) dx = n s= για κάθε n. Για την ιδιότητα (γ) παρατηρούμε ότι, από την (2.4.8), για κάθε δ (, π) και για κάθε δ < x π, έχουμε (2.4.6) F n (x) = F n (x) = sin 2 (nx/2) n sin 2 (x/2) n sin 2 (x/2) n sin 2 (δ/2). Είναι τώρα φανερό ότι (2.4.7) δ x π F n (x) dx n sin 2 (δ/2) και η απόδειξη είναι πλήρης. Άμεση συνέπεια του Θεωρήματος 2.3.4 και της Πρότασης 2.4.3 είναι το εξής. Θεώρημα 2.4.4. Εστω f : T C ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Τότε, η σειρά Fourier S[f] της f είναι Cesáro αθροίσιμη στην f σε κάθε σημείο συνέχειας της f: αν η f είναι συνεχής στο x T, τότε (2.4.8) σ n (f)(x) f(x). Επιπλέον, αν η f είναι συνεχής σε κάθε x T, τότε η σειρά Fourier S[f] της f είναι ομοιόμορφα Cesáro αθροίσιμη στην f: δηλαδή, (2.4.9) σ n (f) ομ f. Άμεσο πόρισμα του Θεωρήματος 2.4.4 είναι το θεώρημα μοναδικότητας 2.2.. Θεώρημα 2.4.5. Εστω f : T C ολοκληρώσιμη συνάρτηση ώστε f(k) = για κάθε k Z. Αν η f είναι συνεχής στο σημείο θ T τότε f(θ ) =.